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解決済み

高校数学I 集合と命題の問題です

問. 次の条件p、qについて、命題 p→q の真偽を集合を用いて求めよ。
「自然数mに関する2つの条件 
  p:mは12の正の約数、q:mは24の正の約数」

この解き方を教えていただきたいです。

高校 高校生 数学 数学i 数学1 高1 集合と命題 一年生

回答

✨ ベストアンサー ✨

条件p,qを満たすもの全体の集合をP,Qとする。このとき、
「命題p⇒qが真」と「P⊂Q」は同じことを表す。
このことを文章で表現するとしたら
「pであるならばqである」が正しい
=「Pの中にあるものはすべてQの中にある」
=「PはQに含まれる」
よって、P⊂Qであるかどうかを考えればp⇒qの真偽がわかる。

[point]
・「命題p⇒qが真」と「P⊂Q」は同値。
・「P⊂Q」のとき「p⇒q」は真。
・「P⊂Q」でないとき「p⇒q」は偽。

例)
p: (x-2)(x-3)=0
q: xは4以下の自然数
p,qを満たすxの集合をP,Qとすると
P={2,3}, Q={1,2,3,4}
となる。
Pの全要素{2,3}がQの中に含まれているので、P⊂Qである。
よって、命題p⇒qは真である。

r: x²=1, R={-1,1}を追加し、
P,Rを比べるとPの全要素{2,3}はRの中にまったく含まれておらず、P⊂RでもP⊃Rでもない。p⇒r, r⇒pともに偽。
また、Rの要素{-1,1}について1はQ={1,2,3,4}に含まれているが、-1は含まれていない。Rのすべての要素がQに含まれているわけではないので、R⊂Q(RがQの中にある)とはいえない。したがって
r⇒qは偽。同様にq⇒rも偽である。

という感じで、
条件p,qを満たすすべてのものの集合P,Qを書いてみて、P,Qの包含関係を調べればp⇒qの真偽がわかります。

cherry-pink

すごく丁寧にわかりやすく書いていただいてありがとうございました!本当に助かりました!

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