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まず、主格と目的格から覚えて、所有格は別として考えましょう（所有格は特殊なので）。
まず、関係代名詞とは「先行詞（名詞）の後ろに説明を続けて、説明を加える」文法表現です。
順番としては、
〔先行詞〕〔関係代名詞〕〔説明する文〕
という語順になります。ここまでは３分類すべて共通です。
たとえば先行詞 the boy（男の子）を、he is running in the park（彼は公園を走っている）と説明するとき、上記の順番で書くと、
〔the boy〕who〔he is running in the park〕
になりますね（先行詞が人だと関係代名詞はwho）。
ここで「先行詞 the boy ＝ 説明する文の主語 he 」なので、「主語 he を省略します」。
the boy who is running in the park
公園を走っている男の子
主語を省略するので、これが関係代名詞の「主格」です。
一方、目的格の例文をあげると、
先行詞 the cake（ケーキ）を my mother made the cake（私の母がケーキを作った）で説明します。先ほどと同じように並べると、
〔the cake〕which〔my mother mada the cake〕
になります（先行詞が物なのでwhich）。
今度は目的語the cakeが重複していますので省略し、
the cake which my mother made
私の母が作ったケーキ
という語順になります。
目的語を省略したので、関係代名詞「目的格」です。
このように、関係代名詞の主格と目的格は、
説明する文（関係代名詞の後ろに続く文）の
主語が省略される→関係代名詞主格
目的語が省略される→関係代名詞目的格
という見分け方ができるのです。
最後に、関係代名詞の所有格ですが、
先行詞 the boy（男の子）
説明する文 his father is a doctor（彼の父は医者）
→the boy whose father is a doctor
（父親が医者の男の子）
という例文が挙げられます。
ここで注目していただきたいのが、先行詞のthe boyではなく、the boyの所有格「his」が、whoseに置き換わっています。
質問である「見分ける」ことであれば、所有格のカタチはwhoseに限られるので一瞬で見分けられますが、使い方がこれだけ特殊で分かりにくいです。
そのため、定期試験や入学試験ではあまり出題されません（中学校の先生が出してくる可能性や、出してくる都道府県や私立もあるかもしれませんが…）
関係代名詞では、主に主格/目的格を「関係代名詞の後ろのカタチ」から見分け、特殊な例として所有格whoseがある、と覚えておきましょう。
わかりやすくありがとうございます！