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nを3以上の自然数とする時，
3ⁿ＞5n＋1
を数学的帰納法を用いて証明する。
[証明]
(i)n=3のとき
3³=27, 5×3+1=16
27>16だから
3³>5×3+1
成り立つ。
(ii)n=kのとき成り立つと仮定すると，
3ᵏ>5k+1 ⋯①
ここから，n=k+1のときの不等式
3ᵏ⁺¹>5k+6
が示せればいい。
3ᵏ⁺¹=3∙3ᵏ なのでこの形をつくるため，
①の両辺を3倍する。
3∙3ᵏ > 3(5k+1)
整理すると
3ᵏ⁺¹ > 15k + 3
この右辺15k+3が5k+6より大きいことを示せれば十分なので，
15k+3>5k+6を示すことを考える。
(左辺) - (右辺) を計算すると，
(15k+3) - (5k+6)
=10k-3
ここで問題の条件よりkは3以上の自然数なので
k≧3
である。この式の左辺が10k-3の形になるように，
両辺を10倍して3を引くと，
10k-3≧27
となるので10k-3≧27>0である。つまり
(15k+3) - (5k+6) > 0 すなわち
15k+3 > 5k+6
であるので，3ᵏ⁺¹ > 15k+3 より
3ᵏ⁺¹ > 15k+3 > 5k+6 = 5(k+1)+1 すなわち
3ᵏ⁺¹ > 5(k+1)+1
となる。よってn=k+1のときも成り立つ。
(i),(ii)から，nを3以上の自然数とするとき，
3ⁿ＞5n＋1
が成り立つ。
