limx→-2 (3x+4)/(x+2)^2 の極限に関して、
limx→-2 を limx→-2-0(-2より小さい方から-2に近づける) と limx→-2+0(-2より大きい方から-2に近づける)の2つの場合の極限を考えます。
◎limx→-2-0 の場合。分子について、limx→-2-0 (3x+4)→-2
分母について、xを-2より小さい方から-2に近づけていくと
x=-2.1のとき、(x+2)^2=(-2.1+2)^2=(-0.1)^2=0.01
x=-2.05のとき、(x+2)^2=(-2.05+2)^2=(-0.05)^2=0.0025
x=-2.001のとき、(x+2)^2=(-2.001+2)^2=(-0.001)^2=0.000001
となり、xが-2に近づくほど分母は限りなく0に近づきます。
即ち、-2/1=-2, -2/0.1=-20, -2/0.01=-200, -2/0.0025=-800,・・・
という様に、分子が-2で分母がひたすら0に近づいて行くと、その分数全体は-∞となります。
また、xを-2より大きい方から-2に近づけた場合も同様に、
◎limx→-2+0の場合。分子について、limx→-2+0 (3x+4)→-2。
...................................分母について、xを-2より大きい方から-2に近づけていくと、
x=-1.5のとき、(x+2)^2=(-1.5+2)^2=(0.5)^2=0.25
x=-1.9のとき、(x+2)^2=(-1.9+2)^2=(0.1)^2=0.01
x=-1.98のとき、(x+2)^2=(-1.98+2)^2=(0.02)^2=0.0004
となり、xが-2に近づくほど分母は限りなく0に近づきます。
即ち、-2/0.25=-8, -2/0.01=-200, -2/0.0004=-50000,・・・
という様に、この場合も極限としては-∞となります。
よって、limx→-2 の様にxが-2のときの極限を考えるときは、xがどの様にして-2に近づくのか、そしてそのときの分母分子の状況(状態)を考えます。