この回答がベストアンサーに選ばれました。

わからなかったり間違っていたりしたらお声掛け下さい。

S

ありがとうございます! 本当に数弱ですか?笑

数弱

数学好きなんらですけど自信がないんです笑笑
余談ですが双曲線関数の積分は計算がめんどくさいので、結果を覚えていると、結果を微分すると、被積分関数に戻るので、という理由をつけておけば1.2行で答えが出ます。笑
また何かあればお気軽にお声掛け下さい!

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回答

(1)
[log{x+√(x²+1)}]'
= 1/{x+√(x²+1)} ・{1 + x/√(x²+1)}
=1/√(x²+1)

(2)
y = √(x²+1) , y' = x/√(x²+1)である

x・y' + 1/y
= x²/√(x²+1) + 1/√(x²+1)
= √(x²+1)
= y

よって y = xy' + 1/y

(3)
求める積分をK(x)と置いて
K(x)
= ∫√(x²+1)dx
(部分積分より)
= x√(x²+1) - ∫x²/√(x²+1)dx
(第2項に0を足すと)
= x√(x²+1) - ∫(x²+1-1)/√(x²+1)dx
(第2項をx²+1と-1に分けると)
= x√(x²+1) - ∫(x²+1)/√(x²+1)dx +∫1/√(x²+1)dx
(第2項を整理すると)
= x√(x²+1) - ∫√(x²+1)dx + ∫1/√(x²+1)dx
(第2項はそのままK(x)であるから)
= x√(x²+1) - K(x) + ∫1/√(x²+1)dx

よって
2K(x)
= x√(x²+1) + ∫1/√(x²+1)dx
(第2項は(1)の微分の逆なので)
2K(x) = x√(x²+1) +log{x+√(x²+1)}

∴ K(x) = 1/2・x√(x²+1) +1/2・log{x+√(x²+1)}

(4)
双曲線y²-x²=1 はx軸,y軸に対して対称であるから
面積は4{K(1)-K(0)}である

K(1) = 1/2・√2 +1/2・log(1+√2)
K(0) = 0

よって 4{K(1)-K(0)} = 2√2+2log(1+√2)

S

丁寧にありがとうございます!

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