Question

S

積分です。解けません。多分双曲線なのは分かるのですが解けません。お願い致しますm(__)m

【問題 1】 一大阪医大一

 

(Dog(*+Y2 1) の導関数を求めよ。

(2②y= V+ 1と置くとyは、ッニャーーキーを満たすことを示せ。

3
ば
さコロー

(の在定本 | Ja 1を求めよ。
(④肥曲線y2ー 2 = 1と2直線々ニー1 = 1で囲まれる図肥の面丁を求めよ。

積分 双曲線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数弱(数学メインで回答します)

わからなかったり間違っていたりしたらお声掛け下さい。

S

ありがとうございます！　本当に数弱ですか？笑

数弱(数学メインで回答します)

数学好きなんらですけど自信がないんです笑笑
余談ですが双曲線関数の積分は計算がめんどくさいので、結果を覚えていると、結果を微分すると、被積分関数に戻るので、という理由をつけておけば1.2行で答えが出ます。笑
また何かあればお気軽にお声掛け下さい！

Answer 2

えだまめ🫛

(1)
[log{x+√(x²+1)}]'
= 1/{x+√(x²+1)} ･{1 + x/√(x²+1)}
=1/√(x²+1)

(2)
y = √(x²+1) , y' = x/√(x²+1)である

x･y' + 1/y
= x²/√(x²+1) + 1/√(x²+1)
= √(x²+1)
= y

よって　y = xy' + 1/y

(3)
求める積分をK(x)と置いて
K(x)
= ∫√(x²+1)dx
(部分積分より)
= x√(x²+1) - ∫x²/√(x²+1)dx
(第2項に0を足すと)
= x√(x²+1) - ∫(x²+1-1)/√(x²+1)dx
(第2項をx²+1と-1に分けると)
= x√(x²+1) - ∫(x²+1)/√(x²+1)dx +∫1/√(x²+1)dx
(第2項を整理すると)
= x√(x²+1) - ∫√(x²+1)dx + ∫1/√(x²+1)dx
(第2項はそのままK(x)であるから)
= x√(x²+1) - K(x) + ∫1/√(x²+1)dx

よって
2K(x)
= x√(x²+1) + ∫1/√(x²+1)dx
(第2項は(1)の微分の逆なので)
2K(x) = x√(x²+1) +log{x+√(x²+1)}

∴ K(x) = 1/2･x√(x²+1) +1/2･log{x+√(x²+1)}

(4)
双曲線y²-x²=1 はx軸,y軸に対して対称であるから
面積は4{K(1)-K(0)}である

K(1) = 1/2･√2 +1/2･log(1+√2)
K(0) = 0

よって　4{K(1)-K(0)} = 2√2+2log(1+√2)

S

丁寧にありがとうございます！

Answer 3

数弱(数学メインで回答します)

何番からがわからないですか？