数学
高校生

「nが偶数の時、2つの自然数n+3とn^2+n+2は互いに素であることを証明せよ。」

という問題です。写真の部分までは出来ました。続きが分かる方教えてください🙏

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集合と命題 背理法

この回答がベストアンサーに選ばれました。

(d,da^2-5a-b)=(2,-4)(4,-2)(8,-1)
を調べていきます

ゲスト

何度もごめんなさい🙏
どう調べていけば良いのですか?

らい

例えばですが
2k+3=da
4k^2+2k+2=db
なのでd=2のとき2k+3=2a,2k^2+k+1=b
となりb=2a(k-1)+4であることがわかります。
これを③に代入して
2a^2-5a-2a(k-1)-4=-4
a(2a-5-2(k-1))=0
aは0でないので2a-5-2(k-1)=2a-2k-3=0
2(a-k)=3となるがa-kは整数より左辺=偶数,右辺=奇数となり矛盾のように示せます。

しかしこれは面倒くさいのでdを公約数ではなく最大公約数でおくと、a,bが互いに素という条件をつけて絞れる可能性を高くしたり、あとは注意が必要ですがユークリッドの互除法を用いてそもそもの2数を変える方法もあります

らい

nを6で場合分けしているのは商n+3が余り8より大きくなるのが必要であるからで、(n-2)を選んだのは余りにnを含む項が残らず考えやすいからです。

ゲスト

ありがとうございました!
理解できました。

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