Question

のん

この問題で、定義域は≦なのに
aの範囲となると＜なのがよく分かりません。

教えてください＜(_ _)＞

所3 人 の ] 定義域の一此が動く場合の関数の最大・最小 | ⑥⑥⑩
Z は正の定数とする。0ミァミ6@ における関数 7(z)デピー4x十5 について
1) 最大値を求めよ。       (2 最小値を求めよ。

。 o7 項木一血め 其木 SQ     基木 49 人

の            my /
0ミミ の中央の値は 間あ。.

ii ーーこの すなわち 0<。<4 のとき 軸 い

2

から。  ァー(0 で最大となる。      に
値は 。 げ(0⑩)=5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

f(x) = x² - 4x + 5 = (x-2)² + 1
より f(x)は 下に凸の放物線で 軸はx=2

(1) f(x)は軸から遠ざかるほど 大きくなるので、x=0,a のどちらかが最大値。
　　この分岐点は 0とaの真ん中(a/2) で
　　　軸≦a/2 のとき f(a)が最大
　　　a/2＜軸 のとき f(0)が最大

　　(i) 2≦a/2 のとき ( つまり 4≦a のとき )
　　　　f(a) = a² - 4a + 5

　　(ii) a/2＜2 のとき ( aは正の定数なので 0＜a＜4 のとき)
　　　　f(0) = 5

(2) 0≦x≦a と範囲が制限されるので 軸が範囲内/範囲外で最小値が変わります。
　　a＞0 より
　　　0≦軸≦a のとき f(軸)が最小値　※ 最小値=極値
　　　軸＞a のとき f(a)が最小値

　　(i) 0≦2≦a のとき (つまり a≧2 のとき )
　　　　f(2) = 1

　　(ii) 2＜a のとき
　　　　f(a) = a² - 4a + 5

としさん

間違えた
　【誤】　(ii) 2＜a のとき

　【正】　(ii) 2＞aのとき ( つまり 0＜a＜2 のとき )

のん

詳しくありがとうございます。
自分は今までaを動かして考えていたので
初歩的 なのですが定義域の中央の値というのがよく分かりません。
定義域の中央の値が軸より小さいか大きいかで
最大値最小値が変わるのですよね？
教えてくださいm(*_ _)m

としさん

下に凸の２次曲線は、軸の位置に極小値(最小値)があり、軸から遠いほど大きくなります。(軸を中心に対称です)
つまり定義域内に軸があるとき、軸から遠い方を選べば最大値となります。

定義域の中央と軸が一致しているとき、両端までの距離は同じなので、どちらを選んでもf(x)の値は同じ。
中央から軸がズレると、軸とは反対方向の方が遠いので、そちらのf(x)が最大となります。
　このどちらを選べばよいかの分岐点が、ちょうど定義域の中央になります。

としさん

軸が定義域外にあっても、同じように軸から遠いほうを選べば最大値になります。
(こちらは、実際にグラフを描いてみて考えてくださいね)

のん

ありがとうございます！
イメージが掴めました。
これからはきちんと定義域の中央の値を求めてから
最小値最大を求めようと思います。