Question

とりっぴー

(1)の解説が分からないです！
2枚目の青線部なんですが、n(P)は何を表しているんですか？また、青線部の等式がどうやって導出されるのかも教えて下さい💦回答よろしくお願いします！

5 自然数 1, 2, 3, ...,nのうちと互いに素であるものの個数を f(n) と
する.
(1) 自然数 a, b, cおよび相異なる素数p, g, r に対して, 等式
f(pagerc)=pa-10-1pc-1 (p-1) (g-1)(r-1)
が成り立つことを示せ.
い
(2) f(n) がn の約数となる5以上100以下の自然数n をすべて求めよ.

く。
解答
(1)n=pager以下の自然数の集合をひとし,Uの部分集合で
p,g,rで割り切れる自然数の集合をそれぞれP,Q,R とお
このとき, n以下でnと互いに素である自然数の集合はPNQNRであ
るから,ド・モルガンの法則より
f(pg'r) =n(PnQNR) = (PUQUR)
が成り立ち
=n(U) -n (PUQUR)
=pqr-{n(P)+n(Q)+n(R)-n (QR) -n (R∩P)
n(P)=Pgre
=
a-1 b
同様に
I
(P∩Q)+n(P∩Q∩R)}
n(Q)=pag-lren(R)=page-1
QRはα, rが素数であることから, grで割り切れる自然数の集合で
m (1)
あり
(QR)
n(QR)=qr
同様に
= p²qb-1μc-1
n (PCQ)=png
(ROP)=pqrl,
POQCRは,g,rが素数であることから, pgr で割り切れる自然数
の集合であり

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

上の方でもn( )という表現は散々出ていますが、
n(P)は集合Pの要素の個数です
教科書にある通りです

一般に、mという自然数に対して、
1以上m以下の自然数の中で、2で割り切れるのは
　[m/2] ←m/2の小数点以下を切り捨てたもの
個です
1以上m以下の自然数の中で、3で割り切れるのは
[m/3]個です
1以上m以下の自然数の中で、4で割り切れるのは
[m/4]個です
………
これが前提にあります

たとえば6=2¹×3¹については、
6以下の自然数のうち、p=2で割り切れるのは
n(P) = [6/2] = 6/2 = 3個です
実際、n(P)は2,4,6の3個です

6以下の自然数のうち、q=3で割り切れるのは
n(P) = [6/3] = 6/3 = 2個です
実際、n(P)は3,6の2個です

今回は、1以上pᵃqᵇrᶜ以下の自然数の中で、
pで割り切れるのは
　[pᵃqᵇrᶜ/p]
個です

とりっぴー

回答ありがとうございます！

一般に、mという自然数に対して、
1以上m以下の自然数の中で、2で割り切れるのは
　[m/2] ←m/2の小数点以下を切り捨てたもの
個です

↑これは覚えるしかないですか？こうなる理屈が知りたいです！

和

新しいものは具体化して自分で考えてみましょうね
具体例も↑に書きましたよ
覚えるというか、具体例で実感できていませんか？

教科書で、1〜100のうち7の倍数の個数を求める
問題をやったことがあるはずです
100÷7は商14で余り2だから14個、
と説明されることが割とあります
これは[100/7]=14そのものです
すでに学んだことを、
違う表現にしているだけです

とりっぴー

わかりました、ありがとうございます！