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<Recipe : 漸化式の基本9パターン>
『スタイルの特徴』 と 『最初の一手』 を押さえる
※それぞれの漸化式の、ちょっとした違いを認識できることが重要
ノーヒントでは発想しづらい 『最初の一手』を覚えておくこと
(基本的には下記の(1)~(4)に帰着させる方法を考える)
解いたら必ず, n=1, n=2の2つは代入して検算すること
漸化式の解法は複数あり,下記に示すのはその一例である
(1) an+1=an+d
(等差型)
公式 a=a1+(n-1)d
を利用
(2) an+1=ran
(等比型)
公式 an=arn-1 を利用
n-1
(3) an+1=an+f(n)
(階差型)
At an = a+
bkを利用
k=1
ex) a1=1, an+1=an+n(n+1) (n≧1)
( 明治学院大 )
n-1
n2の場合分けに注意
(解) n≧2 のとき, an = 1 +
k(k+1)
k=1
(4) an+1=pan+q
=1+1/2k(k-1)(2k-1)+1/2k(k-1)
=1/2(k3-k+3)(これはn=1のときも成り立つ)
(p≠1)
(特性方程式型)
※ an+1 = an =α とおき, a = pa+q をみたすαを求めて次のように変形
与式⇔
an+1α = plan -α)
(bn+1 = pbn)
← 等比型へ帰着 (b=an-α)
ex) a1= 1, an+1=3an +2 (n ≥1)
(横浜国大)
(解)
与式
>>> an+1+1=3(an+1) ← a=3a+2 を解いたα = -1を利用
ゆえに、
an + 1 = (a+1)3n-1 = 2.3n-1 ( a1=1)
よって,
an=2・3n-1-1

ページ2:

(5) an+1=pan+q"
(p≠1)
( 後ろ指数型)
※両辺 qn+1で割る
P
=
与式
gn
(bn+1=sbn+t)
←特性方程式型へ帰着 (b=27)
ex) a1=1,an+1=2an+3n (n≧1) (佐賀大)
(解) 両辺 37+1で割ると
与式
an+1
>>>
3n+1
an+1
>>>>
ゆえに,
2 1
a=3a+3
を解いたα=1を利用
- 1 = -1)
-1=(-1))"
an = -()" +1
=-
-()" (a₁ = 1)
よって、
an = -2"+3
(6) an+1=pan +qn + r (p≠1)
an+1 +{s(n+1)+t} = p{an + (sn +t)}
与式
>>>
(bn+1 = pbn)
(後ろ一次式型)
}
←等比型へ帰着
(bn=an+(sn+t))
※ 上記のようにs, tを用いて表し, 展開して与式と係数比較してs, tを求める
ex) a1= 1, an+1=2an+2n-3 (n≧1) (佐賀大)
(解) an+1+{s(n+1)+t}={a,+(sn+t)} として整理すると
an+1=2an+sn+(t-s)
与式と係数比較すると, s = 2, t-s=-3 よって, s = 2, t=-1
これより, 与式 => an+1+{2(n+1)-1}=2{q+(2n-1)}
ゆえに,
よって,
an+ (2n-1) = (a+1) ・2n-1=2" ("a1 = 1)
an=2"-2n+1
'14.04
© 小出

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(7) an+1=
pan
qan +r
両辺の逆数をとる
分数型)
1
r. 1 +9
与式
an+1
pan
P
(bn+1=sbn+t)
←特性方程式型へ帰着 (bn=122)
an
ex) a1=1, an+1 =
(n ≥1) (慶応大)
2an+3
(解) 与式の両辺の逆数をとると
1=3+2
与式 ⇒
an+1
an
α = 3α+2 を解いたα=-1を利用
1
O>>
+1=
L=3(+1)
wan
ゆえに,
an
an+1
11+1=(22+1) ・37-1=23-1 (1=1)
=2・3n-1-1
an
1
よって,
an=
2-3-1-1
(8) an+2+pan+1+90=0
(3化式)
※ an+2=t2, an+1=t, an=1 とおき, t2+pt+q = 0 をみたす 2解α,β
を求めて次のように二通りに変形。 解いて得られた b, C を引き算
an+2aan+1=β(an+1-aan)
(bn+1=βb)
与式
← 等比型へ帰着 (bn=an+1-aa)
an+2Ban+1=a (an+1-Ban)
与式
←等比型へ帰着 (Cn=an+1-Ban)
(Cn+1 = αcn)
ex) a1= 1, a2=6,an+2-2an+1-3a=0 (n≧1) (芝浦工大)
t2-2t-3 = 0 を解くと, t=-1,3
(解)
これより, 与式
an+2+an+1=3 (an+1+an)
an+1+an = (az+α1) ・3n-1 = 737-1 ...... ①

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また、
与式 >>> an+2-3an+1= (an+1-3an)
ゆえに,
an+1-3an = (a2-3a₁) (-1)-1=3⋅(-1)n-1
......
②
①-②より, 4c=7.3n-1-3・(-1)n-1
よって,
an = =(7.3n-1-3-(-1)-1)
(指数型)
(9) an+1=am²
※ 両辺の対数をとる。
底はα1, a2の値により, 対数をとった際, きれいになるよう決定する
与式 =>
plogan+1=qlog an
(bn+1=βbn)
}
← 等比型へ帰着 (b=10ga)
ex) a1=1, a2= 2, An+15=Qn+2n4 (n≧1) (埼玉大)
(解) 与式の両辺, 底が2の対数をとると 10g201 = 0, log242=1 ときれいになる
O
logzan+15=10gzan+2an = 10gzan+2+10gzan4
log24n+2510gzan+1+410gzan = 0 ・・・・・・①
ここで, 2-5t+4=0を解くと, t=1,4
これより,
①
>>>>
⇒
l0gzan+210gzan+1=4(10g2an+110gzan)
10gz4n+110gzan= (logzaz-log2a1)・4n-1=4n-1...... ②
また,
①
ゆえに,
>>>
⇒
logzan+2410gzan+1=1・(logzan+1-410gzan)
log2an+14logzan = (log2a24log241) (1) "-1=1.... ③
② ③より, 310gzan=4n-1-1
>>>
log2an = (4n-1-1)
よって,
an=
23(4-1-1)
'14.04 © 小出